Вписанный и описанный треугольник отношения

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и вписанный и описанный треугольник отношения равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

S = p r,
где p = (a+b+c) — полупериметр,
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части С:


где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

1. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен а. Тогда гипотенуза равна а .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:



Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .

Ответ: 4.

2. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что sin C = . Угол С — тупой. Значит, он равен 150°.

Ответ: 150.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

S = ah, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону АВ пополам. По теореме Пифагора найдем h = 32. Тогда R = 25.


EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Вписанные и описанные четырехугольники


Источник: https://studopedia.ru/16_111547_vpisannie-i-opisannie-treugolniki-eshche-dve-formuli-ploshchadi-treugolnika-teorema-sinusov.html



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника Как сделать украинскую куклу


2. Связь между радиусом вписанной окружности правильного треугольника Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами Треугольник : вписанная и описанная окружности LAMPA - онлайн-учебник Вписанные и описанные треугольники. Формулы площади треугольника Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный Вписанная и вневписанные в треугольник окружности Википедия Свойства вписанной в треугольник окружности Окружность, вписанная в треугольник / Окружность, вписанная в треугольник Описанная и вписанная окружность Информация о задаче